Question

已知椭圆（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设A、B是抛物线C上两动点，过点M（1，2）的直线MA，MB与y轴交于点P、Q．△MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的标准方程及c²=a²-b²即可得到c，即可求出p，进而得到抛物线C的方程；
（2）直线AB的斜率为定值-1．证法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M（1，2），A、B在抛物线y²=4x上，代入抛物线的方程，可用坐标表示直线MA，MB的斜率，由△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB，即可证明直线AB的斜率为定值；
证法二：设，，则=，，由△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB，以下同上．
解答：解：（1）由椭圆方程得半焦距=1，
∴椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2，∴抛物线C的标准方程为：y²=4x．
（2）直线AB的斜率为定值-1．
证明如下：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵M（1，2），A、B在抛物线y²=4x上，∴
由①-③得，   ④
由②-③得，   ⑤
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
由k_MA=-k_MB得化简整理，
得
上两式相减得：4（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），∴=为定值．
解法二：设，，
则=，，
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
即
∴
由y₁+y₂+4=0得 y₁+y₂=-4．
∴====-1．
∴直线AB的斜率为定值-1．
点评：熟练掌握椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题、直线的斜率计算公式、等腰三角形的性质等是解题的关键．