Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有a_n+1=

3an+5，an为奇数 an 2k ，其中k是使an+1为奇数的正整数，an为偶数

（Ⅰ）当a₃=5时，a₁的最小值为

5

；
（Ⅱ）当a₁=1时，S₁+S₂+…+S₁₀=

230

．

Answer 1

分析：（I）利用定义可得a2=5•2k，对k讨论即可得出；
（II）当a₁=1时，a₂=3×a₁+5=8，a3=

a2

2k

=

8

2k

，当k=1时，a₃=4不满足条件；当k=2时，a₃=2不满足条件；当k=3时，a₃=1满足条件．
依此类推可得其周期性即可得出．

解答：解：（I）a₃=5时，a₂不可能为奇数，否则，由5=3a₂+5，得出a₂=0矛盾，∴a₂必为偶数．
∴5=a3=

a2

2k

，得a2=5•2k，
①当k取最小正整数1时，a₂=10为偶数．a₁只能为奇数，则10=a₂=3a₁+5，无解．
②当k取正整数2时，a₂=20为偶数．a₁只能为奇数，则20=a₂=3a₁+5，a₁=5．
因此a₁的最小值为5．
（II）当a₁=1时，a₂=3×a₁+5=8，a3=

a2

2k

=

8

2k

，当k=1时，a₃=4不满足条件；当k=2时，a₃=2不满足条件；当k=3时，a₃=1满足条件．
依此类推可得：a₄=a₆=a₈=a₁₀=a₂=8，a₃=a₅=a₇=a₉=a₁=1．
∴S₁+S₂+…+S₁₀=10a₁+9a₂+8a₃+…+2a₉+a₁₀
=30a₁+25a₂
=30×1+25×8
=230．
故答案分别5，230．

点评：正确理解定义和分类讨论及得出其周期性是解题的关键．