Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-mx2+

3

2

mx，(m＞0)．
（1）当m=2时，求函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；
（2）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后进行配方，讨论

3

2

m-m2的符号，结合导函数f'（x）的符号，即可判定函数的单调性．

解答：解：（1）当m=2时，f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，
则f'（x）=x²-4x+3，故f'（0）=3，
函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程为y=3x．
（2）f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=(x-m)2+

3

2

m-m2，
当

3

2

m-m2≥0，又m＞0，即0＜m≤

3

2

时，f'（x）≥0，
则函数y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
当

3

2

m-m2＜0，又m＞0，即m＞

3

2

时，
由f'（x）＞0，得x＜m-

m2- 3 2 m

或x＞m+

m2- 3 2 m

，
由f'（x）＜0，得m-

m2- 3 2 m

＜x＜m+

m2- 3 2 m

，
故函数f（x）在区间(-∞，m-

m2- 3 2 m

)和(m+

m2- 3 2 m

，+∞)上是增函数，
在区间(m-

m2- 3 2 m

，m+

m2- 3 2 m

)上是减函数．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数单调性的求解，同时考查了计算能力，转化的思想，属于基础题．