Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）说明如何由y=sin2x的图象得到函数f（x）的图象．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

3

2

sin(2x+

π

6

)+

3

2

，由此求得函数的周期，由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z求得x的范围，即可求得f（x）的增区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，先把y=sin2x的图象向左平移

π

12

个单位，再把所得图象向上平移

3

2

个单位，即可得函数y=

3

2

sin(2x+

π

6

)+

3

2

的图象．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+1=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+1 …（2分）
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=

3

2

sin(2x+

π

6

)+

3

2

，…（4分）
则最小正周期T=π．…（5分）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z．…（7分）
故f（x）的增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)．…（8分）
（2）先把y=sin2x的图象向左平移

π

12

个单位得到y=sin(2x+

π

6

)的图象，…（10分）
再把y=sin(2x+

π

6

)的图象向上平移

3

2

个单位，即得函数y=

3

2

sin(2x+

π

6

)+

3

2

的图象． …（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性和求法，正弦函数的增区间，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．