题目内容

设函数f（x）=
2
3x+5
+lg
3-2x
3+2x
，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f（x）的反函数f-1（x），问函数y=f-1（x）的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．
分析：（1）让分母不为0且真数大于0求解即可．
（2）把f（x）分成两个函数，分别求单调性，再利用复合函数的单调性即可．
（3）利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系，把函数y=f-1（x）的图象与x轴有无交点的问题转化为f（x）与y轴的交点问题即可．
解答：解：（1）由3x+5≠0且
3-2x
3+2x
＞0，解得x≠-
5
3
且-
3
2
＜x＜
3
2
．取交集得-
3
2
＜x＜
3
2
．
（2）令μ（x）=3x+5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
3-2x
3+2x
=-1+
6
3+2x
随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
又y=lgx在定义域内是增函数，根据复合函数的单调性可知，y=lg
3-2x
3+2x
是减函数，所以f（x）=
2
3x+5
+lg
3-2x
3+2x
是减函数．
（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f（x）的反函数f-1（x）与x轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0=
2
5
．
所以函数y=f-1（x）的图象与x轴有交点，交点为（
2
5
，0）．
点评：本题综合考查了函数的定义域，单调性和互为反函数的两函数之间的关系．在求复合函数的单调性时，遵循的原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．
练习册系列答案
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π
n
]上的面积为
2
n
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2π
3
]上的面积为
4
3
4
3
；
（ii）y=sin（3x-π）+1在[
π
3
，
4π
3
]上的面积为
π+
2
3
π+
2
3
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23
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1
3
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3
2
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2
3
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1
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3
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