Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q是对角线A₁C上两点，且PQ=

a

2

，则三棱锥P-BDQ的体积为（　　）

• A．

  3

  36

  a3
• B．

  3

  18

  a3
• C．

  3

  24

  a3
• D．无法确定

Answer 1

分析：D到面PQB的距离是面对角线的一半，B到直线PQ的距离即B到A₁C的距离，由此能求出△PQB的面积，进而得到三棱锥P-BDQ的体积．

解答：解：D到面PQB的距离是面对角线的一半，即n=

2

2

a，
B到直线PQ的距离即B到A₁C的距离是m=

2 a2

3 a

=

6

3

a，
△PQB的面积是：S△PQB=

1

2

PQ×m=

6

6

a2，
∴三棱锥P-BDQ的体积为：
V=

1

3

×S△PQB×n
=

3

18

a³．
故答案为：

3

18

a³．

点评：本题考查棱柱、棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．