Question

下列4个命题：其中真命题是（　　）
①存在x∈（0，+∞），满足(

1

2

)x＜(

1

3

)x；    ②存在x∈（0，1），满足log

1

2

x＞log

1

3

x；
③任意x∈（0，+∞），都有(

1

2

)x＞log

1

2

x；   ④任意x∈(0，

1

3

)，都有(

1

2

)x＜log

1

3

x．

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

分析：①左右两边作商，利用指数函数的性质解决
②特值法取x=

1

2

③特值法取x=

1

2

④利用指数，对数函数的性质解决．

解答：解：①x∈（0，+∞）时    

( 1 2 )x

( 1 3 )x

=(

3

2

)x＞(

3

2

) 0=1，对任意的 x∈（0，+∞），(

1

2

)x＞(

1

3

)x ①错
②取x=

1

2

∈（0，1），log

1

2

1

2

= 1，log

1

3

1

2

=log₃2＜1，即存在x∈（0，1），满足log

1

2

x＞log

1

3

x．②对
③取x=

1

2

∈（0，+∞），(

1

2

)

1

2

=

2

2

＜1     log

1

2

1

2

= 1   此时(

1

2

)x＜log

1

2

x       ③错
④任意的x∈(0，

1

3

)，(

1

2

)x＜ (

1

2

) =01    lo g

1

3

x＞1，(

1

2

)x＜log

1

3

x成立，④对
故选D

点评：本题考查命题真假，指数，对数函数的单调性．