Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+n，数列{b_n}的通项公式为b_n=x^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n．
①求T_n；
②若x=2，求数列{

nTn+1-2n

Tn+2-2

}的最小项的值．

Answer 1

分析：（1）知S_n=n²+n，根据项与前n项和之间的关系求项与n之间的关系式，即数列{a_n}的通项公式；
（2）①由（1）知，数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等差数列，c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，用错位相减法求T_n；
②由①求出T_n，求出所要求的式子，证明这个数列的单调性，从而判定最小项．

解答：解：（1）a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

=

2，n=1 2n，n≥2

=2n．（2分）
（2）c_n=2nx^n-1，
T_n=2+4x+6x²+8x³+…+2nx^n-1，①
则xT_n=2x+4x²+6x³+8x⁴+…+2nxⁿ，②
①-②，得（1-x）T_n=2+2x+2x²+…+2x^n-1-2nxⁿ，
当x≠1时，（1-x）T_n=2×

1-xn

1-x

-2nxⁿ，
T_n=

2-2(n+1)xn+2nxn+1

(1-x)2

，（5分）
当x=1时，T_n=2+4+6+8+…+2n=n²+n．（6分）

（3）当x=2时，T_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹．
则

nTn+1-2n

Tn+2-2

=

n2

2(n+1)

．（7分）
设f（n）=

n2

2(n+1)

．
因为f（n+1）-f（n）=

(n+1)2

2(n+2)

-

n2

2(n+1)

=

n2+3n+1

2(n+1)(n+2)

＞0，（10分）
所以函数f（n）在n∈N₊上是单调增函数．（11分）
所以n=1时，f（n）取最小值

1

4

，即数列{

nTn+1-2n

Tn+2-2

}的最小项的值为

1

4

．（12分）

点评：本题考查项与前n项和之间的关系，注意n=1的时候；用错位相减法求数列的前n项和，用时要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积；求数列的最小项，要考查数列的单调性，此时把数列看作自变量为正整数集的函数．