题目内容
已知：函数f(x)=ax+
+c（a、b、c是常数）是奇函数，且 满足f（1）=10，f（3）=6
（1）求a、b、c的值及f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，3）上的单调性并证明．
| b | x |
（1）求a、b、c的值及f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，3）上的单调性并证明．
分析：（1）由奇函数定义得f（-x）=-f（x），可求c值，根据f（1）=10，f（3）=6可得a，b方程组，解得a，b，从而可求f（x）；
（2）任取0＜x1＜x2＜3，利用作差可比较f（x1）与f（x2）的大小，根据单调性的定义得结论；
（2）任取0＜x1＜x2＜3，利用作差可比较f（x1）与f（x2）的大小，根据单调性的定义得结论；
解答：解 （1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即-ax-
+c=-ax-
-c，可得c=0，
又f（1）=a+b=10，f(3)=3a+
=6，
联立解得a=1，b=9，∴f(x)=x+
；
（2）由（1）知f(x)=x+
，f（x）在区间（0，3）上单调递减，证明如下：
任取0＜x1＜x2＜3，
则f(x1)-f(x2)=x1+
-x2-
=(x1-x2)+
=(x1-x2)
，
∵0＜x1＜x2＜3，∴0＜x1x2＜9，即x1-x2＜0，x1x2-9＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在区间（0，3）上单调递减．
| b |
| x |
| b |
| x |
又f（1）=a+b=10，f(3)=3a+
| b |
| 3 |
联立解得a=1，b=9，∴f(x)=x+
| 9 |
| x |
（2）由（1）知f(x)=x+
| 9 |
| x |
任取0＜x1＜x2＜3，
则f(x1)-f(x2)=x1+
| 9 |
| x1 |
| 9 |
| x2 |
| 9(x2-x1) |
| x1x2 |
| x1x2-9 |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2＜3，∴0＜x1x2＜9，即x1-x2＜0，x1x2-9＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在区间（0，3）上单调递减．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的性质判断，考查函数解析式的求解，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．
练习册系列答案
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| 3 |
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