Question

已知圆C与y轴交于两点M（0，-2），N（0，2），且圆心C在直线2x-y-6=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过圆C的圆心C作一直线，使它夹在两直线l₁：2x-y-2=0和l₂：x+y+3=0间的线段AB恰好被点C所平分，求此直线的方程．

Answer 1

分析：（1）先由M，N的坐标确定圆心C的纵坐标为0，再根据圆心C在直线2x-y-6=0上，所以x=3，最后确定圆的半径，从而求出圆的方程；（2）先假设直线AB的方程为y=k（x-3），分别与l₁，l₂联立，利用中点坐标公式可求，同时注意斜率不存在情况的验证．

解答：解：（1）因为圆C与y轴交于两点M（0，-2），N（0，2），所以圆心C的纵坐标为0．
又因为圆心C在直线2x-y-6=0上，所以x=3．所以圆心C（3，0），半径|MC|=

32+22

=

13

．
所以圆C的方程为（x-3）²+y²=13．
（2）由（1）知圆心C（3，0），设A点的纵坐标为y₁，B点的纵坐标为y₂，
直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-3），分别与l₁，l₂联立得

y=k(x-3) 2x-y-2=0.

解得y1=

4k

k-2

．

y=k(x-3) x+y+3=0.

解得y2=

-6k

k+1

．由中点坐标公式，有

1

2

(y1+y2)=0．即

4k

k-2

+

-6k

k+1

=0．所以k=8．
故所求直线方程为y=8（x-3）．即8x-y-24=0．
当k不存在时，过点C（3，0）的直线方程为x=3与l₁交点为（3，4），与l₂交点为（3，-6），
其中点（3，-1）与圆心C（3，0）不符，故x=3不是所求直线．

点评：本题考查圆的标准方程的求解，关键是确定圆心的坐标和半径，（2）利用设而不求法，应注意分类讨论思想的应用