Question

已知函数f(x)=(x²+ax+a)e^-x（a为常数），
（1）若函数f(x)在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设由f(x)的极大值构成的函数为g(x)，试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0，3x-2y+n=0（m，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由。

Answer 1

解：（1），
令f′(x)=0，得x=0，x=2-a，
当a=2时，恒成立，此时函数f(x)单调递减，x=0不是函数的极值点；
当a＞2时，2-a＜0，若x＞0，则f′(x)＜0；若2-a＜x＜0，则f′(x)＞0，此时x=0是函数f(x)的极大值点；
当a＜2时，2-a＞0，若x＜0，则f′(x)＜0；若0＜x＜2-a，则f′(x)＞0，x=0是函数f(x)的极小值点；
综上所述，使得函数f(x)在x=0处取得极小值的a的取值范围是a＜2。
（2）由（1）知a＜2时，函数f(x)在x=2-a时取得极大值，
故函数f(x)的极大值等于，故，
（x＜2），
令，则，对于x＜2大于零恒成立，即函数h(x)在(-∞，2)单调递减，
故在(-∞，2)上，，即恒有g′(x)＜1，
由直线2x-3y+m=0的斜率是，直线3x-2y+n=0的斜率是，
根据导数的几何意义知曲线g(x)只能可能与直线2x-3y+m=0相切。