Question

已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，a²b²cosC=a²+b²-c²，S_△ABC=．
（I）求证：△ABC为等腰三角形．
（II）求角A的值．

Answer 1

解：（I）证明：在△ABC中，∵，由正弦定理可得 ，∴sinBcosA=cosBsinA，∴sin（B-A）=0．
再由-π＜A-B＜π 可得 B-A=0，
∴△ABC为等腰三角形．
（II）∵a²b²cosC=a²+b²-c²，且 cosC=，∴ab•=a²+b²-c²，即 （ab-2）（ a²+b²-c²）=0．
∴ab=2 或 a²+b²-c² =0．
当 ab=2时，由S_△ABC== 求得sinC=，∴C=，或 ，故 A=或．
当a²+b²-c² =0，△ABC为等腰直角三角形，A=．
综上可得，A=，或A=，或A=．
分析：（I）在△ABC中，由 利用正弦定理可得sin（B-A）=0，可得 B-A=0，故△ABC为等腰三角形．
（II） 由余弦定理求出 cosC，代入a²b²cosC=a²+b²-c²可得 ab=2 或 a²+b²-c² =0．ab=2时，由S_△ABC= 求出A的值，可得C的值．当a²+b²-c² =0，△ABC为等腰直角三角形，
从而求得A的值，综合可得结论．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．