Question

已知函数和

（I）函数在区间（0，+）上是增函数还是减函数？说明理由；

（II）求证：函数在区间（2，3）上有唯一零点；

（III）当时，不等式恒成立，其中是导函数, 求正整数K的最大值。

Answer 1

（1）减函数（2）见解析（3）3

解析:

（I）函数在区间上是减函数。

由于

所以故函数在区间上是减函数。

（II）因为

所以在（2，3）上是增函数

又

所以，函数在区间（2，3）上有唯一零点。

（III）当时，不等式恒成立

即对于恒成立

设，则

由（II）知在区间上是增函数，

且存在唯一实数根,满足，即

由时，；时，

知的最小值为

故正整数的最大值为3。