Question

已知正项数列满足：对任意正整数，都有成等差数列，成等比数列，且

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

(Ⅲ) 设如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）由已知，得 ①，   ② .    由②得  ③.

将③代入①得，对任意，有

即

是等差数列.                                                         4分

（Ⅱ）设数列的公差为，

由经计算，得

                                         9分

（Ⅲ）由（1）得

 

不等式化为

即

设，则对任意正整数恒成立．

当，即时，不满足条件；

当，即时，满足条件；

当，即时，的对称轴为，关于递减，

因此，只需 解得

综上，                                                     14分