题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．设k为非零实数，矩阵M=
.
k0
01
.
，N=
.
01
10
.
，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，
（1）求k的值．
（2）判断变换MN是否可逆，如果可逆，求矩阵MN的逆矩阵；如不可逆，说明理由．
分析：（1）先计算MN，再求点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1的坐标，利用△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，可求k的值．
（2）先设 B=
ab
cd
是MN的逆矩阵，则则 AB=
0k
10
ab
cd
=
10
01
列出关于a，b，c，d的方程组，讨论方程是否有解即可．
解答：解：（1）由题设得MN=
k
0
0
1
0
1
1
0
=
0
1
k
0
，
由
0
1
k
0
0
0
-2
0
-2
1
=
0
0
0
-2
k
-2
，
可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）．
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，
则由题设知：|k|=2×1=2．
所以k的值为2或-2．
（2）令MN=A，设 B=
ab
cd
是A的逆矩阵，则 AB=
0k
10
ab
cd
=
10
01

⇒
ckdk
ab
=
10
01
⇒
ck=1
dk=0
a=0
b=1

①当k≠0时，上式⇒
a=0
b=1
c=
1
k
d=0
，MN可逆，（8分）
所以MN的逆矩阵是 B=
01
1
k
0
．（10分）
②当k≠0时，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．
点评：本题主要考查逆变换与逆矩阵、图形在矩阵对应的变换下的变化特点，要求知识较少，但重点考查运算求解能力．
练习册系列答案
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在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
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如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
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1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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