Question

已知函数f(x)=log2

x+4

x-4

（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）由题，可令

x+4

x-4

＞0，解出函数的定义域．
（2）由f（-x）=log

( x+4 x-4 )-1 2

=-f（x），依据奇函数定义得出函数的奇偶性．
（3）再由复合函数单调性的判断方法判断出单调性即可．

解答：解：（1）由题意，令

x+4

x-4

＞0，解得4＜x或x＜-4，故函数的定义域为（-∞，-4）∪（4，+∞）
（2）由于f（-x）=log

( x+4 x-4 )-1 2

=-f（x），∴函数是奇函数．
（3）当x∈（-∞，-4）∪（4，+∞）时f(x)=log2

x+4

x-4

可知

x+4

x-4

=1+

8

x-4

．
因为y=x-4是增函数
y=

8

x-4

是减函数
y=

x+4

x-4

是减函数
f(x)=log2

x+4

x-4

是减函数
综上，函数的定义域为（-∞，-4）∪（4，+∞），此函数是一个奇函数，也是减函数．

点评：本题考点是对数函数图象与性质的应用，考察了对数函数定义域的求法，对数的运算性质，函数奇偶性的判断，复合函数单调性的判断规则，解题的关键是熟练掌握对数的性质、复合函数单调性的判断规则，本题考察了推理判断的能力．