Question

已知a＞0，且a≠1，设p：函数y=a^x在（-∞，+∞）上是减函数；q：方程ax2+x+

1

2

=0有两个不相等的实数根．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则a的取值范围是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：分别求出p，q成立的等价条件，利用“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围．

解答：解：若函数y=a^x在（-∞，+∞）上是减函数，则0＜a＜1，即p：0＜a＜1．
若方程ax2+x+

1

2

=0有两个不相等的实数根，则△=1-4a×

1

2

=1-2a＞0，
解得a＜

1

2

，即q：a＜

1

2

．
若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
则p，q一真一假，
若p真q假，则

0＜a＜1 a≥ 1 2

，解得

1

2

≤a＜1．
若p假q真，则

a＞1 a＜ 1 2

，此时a无解．
综上：a的取值范围是[

1

2

，1)．
故答案为：[

1

2

，1)．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的判断，利用条件先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．