Question

已知数列{a_n}满足，a1=

1

2

，

3(an+1-an)

1+an+1

=

1-an+1

an+1+an

，且a_n+1•a_n＜0．（n∈N^*）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若{b_n}=a_n+1²-a_n²，试问数列{b_n}中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由．

Answer 1

分析：（I）首先求出a1=

1

2

，然后讨论当n为偶数时，a_n＜0；当n为奇数时，a_n＞0，再由

3(an+1-an)

1+an+1

=

1-an+1

an+1+an

，得3（a_n+1²-a_n²）=1-a_n+1²，即4a_n+1²-3a_n²=1，于是可以得出
4（a_n+1²-1）=3（a_n²-1），即数列{a_n²-1}是以

a

2 1

-1=-

3

4

为首项，

3

4

为公比的等比数列，最终求出{a_n}的通项公式．
（II）由（ I）知b_n=a_n+1²-a_n²=1-(

3

4

)n+1-1+(

3

4

)n=

1

4

•(

3

4

)n，假设数列{b_n}中存在三项b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）成等差数列，然后证明2•3^s•4^t-s=3^r•4^t-r+3^t是不是成立．

解答：解：（ I）由a1=

1

2

，a_n+1•a_n＜0知，
当n为偶数时，a_n＜0；当n为奇数时，a_n＞0；
由

3(an+1-an)

1+an+1

=

1-an+1

an+1+an

，得3（a_n+1²-a_n²）=1-a_n+1²，即4a_n+1²-3a_n²=1，
所以4（a_n+1²-1）=3（a_n²-1），
即数列{a_n²-1}是以

a

2 1

-1=-

3

4

为首项，

3

4

为公比的等比数列
所以，

a

2 n

-1=-

3

4

(

3

4

)n-1=-(

3

4

)n，

a

2 n

=1-(

3

4

)n，
故an=(-1)n-1

1-( 3 4 )n

（ II）由（ I）知b_n=a_n+1²-a_n²=1-(

3

4

)n+1-1+(

3

4

)n=

1

4

•(

3

4

)n，
则对于任意的n∈N^*，b_n＞b_n+1．
假设数列{b_n}中存在三项b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）成等差数列，
则b_r＞b_s＞b_t，即只能有2b_s=b_r+b_t成立，
所以2•

1

4

(

3

4

)s=

1

4

(

3

4

)r+

1

4

(

3

4

)t，2•(

3

4

)s=(

3

4

)r+(

3

4

)t，
所以，2•3^s•4^t-s=3^r•4^t-r+3^t，
因为r＜s＜t，所以t-s＞0，t-r＞0，
所以2•3^s•4^t-s是偶数，3^r•4^t-r+3^t是奇数，而偶数与奇数不可能相等，
因此数列{b_n}中任意三项不可能成等差数列．

点评：本题主要考查数列递推式和等差数列关系确定的知识点，解答本题的关键是对n进行奇偶数分类讨论，要熟练掌握等差数列的性质，本题有一定难度．