Question

如图所示，有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，求剪去的小正方形的边长及容积最大值．

Answer 1

分析：列出容积与小正方形的边长的函数关系，建立实际问题的函数模型，利用导数作为工具求解该最值问题．

解答：解：设剪去的小正方形的边长为a，
则纸盒的容积为V=a（8-2a）（5-2a），（0＜a＜

5

2

）
∴V=4a³-26a²+40a，
∴V′=12a²-52a+40=4（a-1）（3a-10）
∴0＜a＜1，V′＞0；
1＜a＜

5

2

，V′＜0，
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，

5

2

）上单调递减，
∴a=1时，函数取得极大值，且为最大值，
∴剪去的小正方形的边长为1，容积最大值为18．

点评：本题考查函数的应用，考查函数模型的工具作用，考查求函数最值的导数思想，属于中档题．