题目内容

8、如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．求证：E，B，F，D1四点共面；
分析：要证：E，B，F，D1四点共面，只需证BF∥D1E即可．
解答：证明：在BB1取点M，使得BM=AE
∵ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体
∴ME∥AB且ME=AB
∴ME∥C1D1且ME=C1D1
∴四边形C1D1EM是平行四边形
∴D1E∥C1M
又∵C1M∥FB且C1M=FB
∴D1E∥FB且D1E=FB
∴四边形EBFD1是平行四边形
∴E，B，F，D1四点共面
点评：此题考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，考查对四点共面的理解与掌握．
练习册系列答案
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18、如图，已知ABCD是矩形，E是以CD为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD，求证：CE⊥平面ADE．
如图，已知ABCD 为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E 在CD 上，EF∥BC，BD⊥AD，BD 与EF 相交于N．现将四边形ADEF 沿EF 折起，使点D 在平面BCEF 上的射影恰在直线BC 上．
（Ⅰ） 求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ） 求折后直线DE 与平面BCEF 所成角的余弦值．
（2012•汕头二模）如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，
（1）证明：平面AB1D1⊥平面AA1C1
（2）当二面角B1-AC1-D1的平面角为120°时，求四棱锥A-A1B1C1D1的体积．
如图，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=FB=2DE．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线EC与平面BCF所成的角；
（Ⅲ）问在EF上是否存在一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥？若存在，试确定M点的位置；若不存在，说明理由．
（2005•普陀区一模）如图，已知ABCD和A1B1C1D1都是正方形，且AB∥A1B1，AA1=BB1=CC1=DD1，若将图中已作出的线段的两个端点分别作为向量的始点和终点所形成的不相等的向量的全体构成集合M，则从集合M中任取两个向量恰为平行向量的概率是
2
15
2
15
（用分数表示结果）．

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