题目内容
已知函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*）且a1，a2，…，an构成一个数列，又f（1）=n2
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）比较f（
）与1的大小．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）比较f（
| 1 | 3 |
分析：（1）f（1）=n2，得出a1+a2+a3+…+an=n2，当n≥2时a1+a2+a3+…+an-1=（n-1）2，两式相减求通项即可．
（2）由（1）应得出f（
）=（
）+3（
）2+5（
）3+…+（2n-1）（
）n，将f（
）看成一个数列的前n项和，由错位相减法求出，再与1比较．
（2）由（1）应得出f（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：解：（1）f（1）=n2
得出a1+a2+a3+…+an=n2 ①
当n≥2时a1+a2+a3+…+an-1=（n-1）2 ②
①-②得an=n2-（n-1）2=2n-1
又在①中令n=1得出a1=1，也适合上式
所以数列{an} 的通项公式an=2n-1．
（2）f（
）=（
）+3（
）2+5（
）3+…+（2n-1）（
）n，
两边都乘以
，可得
f（
）=（
）2+3（
）3+5（
）4+…+（2n-1）（
）n+1，
两式相减，得
f（
）=（
）+2（
）2+2（
）3+…+2（
）n…-（2n-1）（
）n+1，
=
+
-（2n-1）（
）n+1，
=
-(
)n•
则f（
）=1-(
)n•(n+1)＜1
得出a1+a2+a3+…+an=n2 ①
当n≥2时a1+a2+a3+…+an-1=（n-1）2 ②
①-②得an=n2-（n-1）2=2n-1
又在①中令n=1得出a1=1，也适合上式
所以数列{an} 的通项公式an=2n-1．
（2）f（
| 1 |
| 3 |
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
两边都乘以
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
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| 1 |
| 3 |
| 1 |
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| 1 |
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两式相减，得
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
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| 1 |
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| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
| ||||
1-
|
| 1 |
| 3 |
=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2n+2 |
| 3 |
则f（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查数列与函数的综合，涉及等差数列的性质与错位相减法求数列的前n项和；考查构造、变形、计算、推理论证能力．
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