Question

已知点A（－2,0），B（2,0），动点P满足：,且

   （Ⅰ）求动点P的轨迹Q的方程；

   （Ⅱ）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N。试问x轴上是否存在定点C，使 为常数，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，由余弦定理得：,

即16=

=

.     ,即　

（当动点P与两定点A,B共线时也符合上述结论）

动点P的轨迹为以A,B为焦点,实轴长为的双曲线.

所以，轨迹G的方程为x²-y²=2.   

（Ⅱ）假设存在定点C(m,0),使为常数.

（1）当直线l不与x轴垂直时，

设直线l的方程为y=k(x-2),代入x²-y²=2整理得:

(1-k²)x²+4k²x-(4k²+2)=0.           

由题意知，k≠±1.

设M(x₁,y₁) ,N(x₂,y₂),则x₁+x₂=,.

于是，  

.          

要使是与无关的常数，当且仅当m=1，此时.

（2）当直线 与轴垂直时，可得点，

当m=1时，.   

故在x轴上存在定点C(1,0),使为常数.