Question

（本小题满分15分）

如图为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一个三棱锥B₁—A₁BC₁后得到的几何体．

（1） 画出该几何体的正视图；

（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D₁O∥平面A₁BC₁；

（3）_． 求证：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

Answer 1

（1）略（2）略 （3）略

分析：本题主要考查立体几何中的主干知识，如线面平行、面面垂直及三视图等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。解题的关键是还原正方体，本题属中等题。

解析:

（1）该几何体的正视图为：-----------3分

（2）将其补成正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设B₁D₁和A₁C₁交于点O₁，连接O₁B，

依题意可知，D₁O₁∥OB，且D₁O₁=OB，即四边形D₁OB O₁为平行四边形------7分

则D₁O∥O₁B，因为BO₁平面BA₁C₁，D₁O平面BA₁C₁，所以有直线D₁O∥平面BA₁C₁； ---9分

（3）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，

则DD₁⊥A₁C₁，-------11分另一方面，B₁D₁⊥A₁C₁，-----13分

 又∵DD₁∩B₁D₁= D₁，∴A₁C₁⊥平面BD₁D，

∵A₁C₁平面A₁BC₁，则平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．----15分