Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），则a₃的值为

-

1

2

，a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀的值为

-6

．

Answer 1

分析：直接按照递推式，依次求出a₂，a₃，a₄，a₅，…发现出数列{a_n} 具有周期性，且a₁•a₂•a₃•a₄=1，于是a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀ 便于化简计算．

解答：解：a₁=2，
a2=

1+a1

1-a1

= 

1+2

1-2

=-3，
a3=

1+a2

1-a2

=

1+(-3)

1-(-3)

=-

1

2

，
a4=

1+a3

1-a3

=

1+(- 1 2 )

1-(- 1 2 )

=

1

3

．
a5=

1+a4

1-a4

=

1+ 1 3

1- 1 3

=2．
…
数列{a_n}是周期数列，每4项一循环，a₁•a₂•a₃•a₄=1，
∴a₁•a₂•a₃•…•a₂₀₁₀=a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=a₁•a₂=-6
故答案为：-

1

2

，-6．

点评：本题考查了数列的递推公式的应用，数列的函数性质．考查转化、计算能力．