Question

动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C₁，圆C₂的圆心T是曲线C₁上的动点，圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|=4。
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设点A（a，0）（a＞2），若点A到点T的最短距离为a-1，试判断直线l与圆C₂的位置关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得|PF|=|x+1|，即，
化简得，，
∴曲线C₁的方程为。
（2）设点T的坐标为，圆C₂的半径为r，
∵ 点T是抛物线上的动点，
∴()，
∴ ，
∵a＞2，∴a-2＞0，则当时，|AT|取得最小值为， 
依题意得，两边平方得，
解得：a=5或a=1(不合题意，舍去)，
∴，，即，
∴圆的圆心T的坐标为，
∵圆与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴，
∴，
∵点T到直线l的距离，
∴直线l与圆相离。