Question

动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C₁．圆C₂的圆心T是曲线C₁上的动点，圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设点A（a，0）（a＞2），若点A到点T的最短距离为a-1，试判断直线l与圆C₂的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能得到曲线C₁的方程．
（2）设点T的坐标为（x₀，y₀），圆C₂的半径为r，点T是抛物线C₁：y²=4x上的动点，y₀²=4x₀（x₀≥0）．|AT|=

(x0-a)2+(y0-0)2

=

x 2 0 -2ax0+a2+4x0

=

[x0-(a-2)]2+4a-4

．
∵a＞2，∴a-2＞0，则当x₀=a-2时，|AT|取得最小值为2

a-1

，由此入手能够判断判断直线l与圆C₂的位置关系．

解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得|PF|=|x+1|，
即

(x-1)2+y2

=|x+1|，（2分）
化简得：y²=4x，
∴曲线C₁的方程为y²=4x．（4分）
（2分）
∴曲线C₁的方程为y²=4x．（4分）
（2）设点T的坐标为（x₀，y₀），圆C₂的半径为r，
∵点T是抛物线C₁：y²=4x上的动点，
∴y₀²=4x₀（x₀≥0）．
∴|AT|=

(x0-a)2+(y0-0)2

（6分）
=

x 2 0 -2ax0+a2+4x0

=

[x0-(a-2)]2+4a-4

．
∵a＞2，∴a-2＞0，则当x₀=a-2时，|AT|取得最小值为2

a-1

，（8分）
依题意得2

a-1

=a-1，
两边平方得a²-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合题意，舍去）．（10分）
∴x₀=a-2=3，y₀²=4x₀=12，即y0=±2

3

．
∴圆C₂的圆心T的坐标为（3，±2

3

）．
∵圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴|MN|=2

r2- x 2 0

=4．
∴r=

4+ x 2 0

=

13

．（12分）
∵点T到直线l的距离d=|x0+1|=4＞

13

，
∴直线l与圆C₂相离．（14分）

点评：本题考查圆的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意解答，合理进行等价转化．