Question

过点P（2，3）作直线l分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A（a，0），B（0，b）两点．
（1）求|OA|+|OB|的最小值．
（2）当△AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值．
（3）当|PA|•|PB|取得最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）过P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设∠PAO=θ，利用解直角三角形知识算出|AC|=

3

tanθ

且|BD|=2tanθ，从而将|OA|+|OB|表示为关于tanθ的式子，再利用基本不等式加以计算，即可求出|OA|+|OB|的最小值；
（2）设AB的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），可得

2

a

+

3

b

=1，利用基本不等式算出ab≥24，可得当且仅当a=4且b=6时，△AOB的面积S有最小值为12，进而算出此时的直线l方程；
（3）由（1）的结论得|PA|=

3

sinθ

且|PB|=

2

cosθ

，利用二倍角的正弦公式算出|PA|•|PB|=

12

sin2θ

，由正弦函数的值域可得当θ=45°时，|PA|•|PB|取最小值12．而此时直线的倾斜角为135°，得到斜率为-1，利用点斜式方程列式，化简可得直线l的方程．

解答：解：设∠PAO=θ，则可得θ∈（0，

π

2

），
过P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，
则Rt△PDB中，tanθ=

|BD|

|PD|

，可得|BD|=|PD|tanθ=2tanθ，
cosθ=

|PD|

|PB|

，可得|PB|=

|PD|

cosθ

=

2

cosθ

，
同理，在Rt△PAC中，有|AC|=

|PC|

tanθ

=

3

tanθ

，|PA|=

3

sinθ

，
（1）|OA|+|OB|=|OC|+|AC|+|OD|+|BD|=5+

3

tanθ

+2tanθ，
∵θ∈（0，

π

2

），得tanθ＞0，
∴

3

tanθ

+2tanθ≥2

3 tanθ •2tanθ

=2

6

，可得当且仅当tanθ=

6

2

时，等号成立．
由此可得|OA|+|OB|=5+

3

tanθ

+2tanθ的最小值为5+2

6

；
（2）设直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
∵点P（2，3）在直线上，∴

2

a

+

3

b

=1，
由基本不等式，得1=

2

a

+

3

b

≥2

2 a • 3 b

=

24 ab

，当且仅当a=4且b=6时，等号成立，
∴ab≥24，可得△AOB的面积S=

1

2

ab≥12，
因此△AOB的面积S的最小值为12，
此时的直线方程为

x

4

+

y

6

=1，即3x+2y-12=0．
（3）∵|PA|=

3

sinθ

，|PB|=

2

cosθ

，
∴|PA|•|PB|=

3

sinθ

•

2

cosθ

=

12

sin2θ

，
∴当2θ=90°，即θ=45°时，|PA|•|PB|取最小值12，
此时，直线的倾斜角为135°，斜率为-1，
直线l的方程为y-3=-1（x-2），化为一般式可得x+y-5=0．

点评：本题给出直线经过定点，求满足特殊条件的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、三角形面积的计算和基本不等式求最值等知识，属于中档题．