Question

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1，则函数y=f（x）的图象与y=log₄（x+1）的图象的交点个数为

3

．

Answer 1

分析：先根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期为2的周期性函数，再把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论．

解答：解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期性函数，
又x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1，
根据函数的周期性画出图形，如图，
再在同一坐标系中画出函数y=log₄（x+1）的简图，
结合图象，知函数y=f（x）的图象与y=log₄（x+1）的图象的交点个数为3个．
故答案为：3．

点评：本题考查了函数与方程的综合运用、利用图象来判断函数y=f（x）的图象与y=log₄（x+1）的图象的交点个．解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．