Question

已知f（x）=

lnx

x

，g（x）=-

x2

2

+2ex-tlnx-

1

x

，t为实常数，
（1）比较

1

e

与ln

2

大小．
（2）求f（x）在区间[1，a]（a＞1的常数）上最大值．
（3）当x∈[1，2]时，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]对于λ∈[1，+∞）恒成立，求t取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用导数求得f（x）的单调区间，根据单调性可得f（e）＞f（2），由此可得到结论；
（2）由（1）可知f（x）的单调区间，按照1＜a≤e，a＞e两种情况进行讨论，由单调性可得其最大值；
（3）g（x）≤t[λ-xf（x）]即-

x2

2

+2ex-

1

x

≤tλ，令h（x）=-

x2

2

+2ex-

1

x

（1≤x≤2），利用导数可求得h（x）在[1，2]上的最大值，然后分离出参数t后再求最值即可；

解答：解：（1）∵f（x）=

lnx

x

，∴x＞0，f′（x）=

1-lnx

x2

，
由f′（x）=

1-lnx

x2

=0，得x=e．
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．
∴f（x）=

lnx

x

在（0，e）内是增函数，在（e，+∞）内是减函数．
∵e＞2，∴f（e）＞f（2），即

lne

e

＞

ln2

2

，
∴

1

e

＞ln

2

．
（2）由（1）知f（x）=

lnx

x

在（0，e）内是增函数，在（e，+∞）内是减函数，
∴当1＜a≤e时，f（x）在区间[1，a]上递增，最大值为f（a）=

lna

a

；
当a＞e时，f（x）在区间[1，e]上递增，在[e，a]上递减，最大值为f（e）=

1

e

．
∴f（x）在区间[1，a]（a＞1的常数）上最大值为f（x）_max=

lna a ，1＜a≤e 1 e ，a＞e

．
（3）g（x）≤t[λ-xf（x）]即-

x2

2

+2ex-tlnx-

1

x

≤t（λ-lnx），亦即-

x2

2

+2ex-

1

x

≤tλ，
令h（x）=-

x2

2

+2ex-

1

x

（1≤x≤2），则h′（x）=-x+2e+

1

x2

=

-x3+2ex2+1

x2

，
令φ（x）=-x³+2ex²+1，则φ′（x）=-3x²+4ex=-3x（x-

4

3

e），
当x∈[1，2]时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
则φ（x）≥φ（1）=2e＞0，
所以h′（x）＞0，h（x）在[1，2]上单调递增，
所以h（x）_max=h（2）=4e-

5

2

，
所以要使x∈[1，2]时，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]成立，有4e-

5

2

≤tλ，
该不等式可变为t≥

4e- 5 2

λ

，要使g（x）≤t[λ-xf（x）]对于λ∈[1，+∞）恒成立，
因为

4e- 5 2

λ

在[1，+∞）上递减，所以只需t≥4e-

5

2

，
故实数t的取值范围为t≥4e-

5

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力．