题目内容
已知数列{an}满足：a1=3，an+1=| 3an+2 |
| an+2 |
| an-2 |
| an+1 |
（I） 求证：数列{bn}是等比数列；
（II） 若an≤t•4n对任意n∈N*恒成立，求t的取值范围；
（III）记Cn=
| 3 |
| an+1 |
| 2 |
| 3 |
分析：（Ⅰ）由条件先得an+1=
，再分别表示∴an+1-2，an+1+1，两式相除，可得数列{bn}是首项为
，公比为
的等比数列．
（II） 由（Ⅰ）可知an=
，对an≤t•4n分离参数得t≥
，从而可解；
（III）由题意可得C1•C2…Cn=(1-
)…(1-
)，欲证此结论，先证明：若x1，x2，…xn为正数，则（1-x1）…（1-xn）＞1-（x1+x2+…+xn）成立．
| 3an+2 |
| an+2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（II） 由（Ⅰ）可知an=
| 1+2×4n |
| 4n-1 |
2+
| ||
| 4n-1 |
（III）由题意可得C1•C2…Cn=(1-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4n |
解答：解：（Ⅰ）证明：由an+1=
，n∈N*得an+1-2=
-2=
①an+1+1=
+1=
②
①÷②
=
×
即bn+1=
bn，且b1=
∴数列{bn}是首项为
，公比为
的等比数列．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=
=
，∴an=
由an≤t•4n得t≥
易得
是关于n的减函数，∴
≤
，∴t≥
（8分）
（Ⅲ）由an=
得
=1-
∴C1•C2…Cn=(1-
)…(1-
)（10分）
下面用数学归纳法证明不等式：
若x1，x2，…xn为正数，则（1-x1）…（1-xn）＞1-（x1+x2+…+xn）（*）
1°当n=2时，∵x1，x2为正数，∴（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2＞1-（x1+x2）
2°假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即若x1，x2，…，xk为正数，则
（1-x1）（1-x2）…（1-xk）＞1-（x1+x2…+xk）
那么（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）＞1-（x1+x2…+xk+xk+1）
这就是说当n=k+1时不等式成立．（12分）
根据不等式（*）得：C1•C2…Cn=(1-
)…(1-
)＞1-(
+
…+
)＞
∴C1•C2…Cn＞
．（14分）
| 3an+2 |
| an+2 |
| 3an+2 |
| an+2 |
| an-2 |
| an+2 |
| 3an+2 |
| an+2 |
| 4(an+1) |
| an+2 |
①÷②
| an+1-2 |
| an+1+1 |
| 1 |
| 4 |
| an-2 |
| an+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴数列{bn}是首项为
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=
| 1 |
| 4n |
| an-2 |
| an+1 |
| 1+2×4n |
| 4n-1 |
由an≤t•4n得t≥
2+
| ||
| 4n-1 |
2+
| ||
| 4n-1 |
2+
| ||
| 4n-1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（Ⅲ）由an=
| 1+2×4n |
| 4n-1 |
| 3 |
| an+1 |
| 1 |
| 4n |
∴C1•C2…Cn=(1-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4n |
下面用数学归纳法证明不等式：
若x1，x2，…xn为正数，则（1-x1）…（1-xn）＞1-（x1+x2+…+xn）（*）
1°当n=2时，∵x1，x2为正数，∴（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2＞1-（x1+x2）
2°假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即若x1，x2，…，xk为正数，则
（1-x1）（1-x2）…（1-xk）＞1-（x1+x2…+xk）
那么（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）＞1-（x1+x2…+xk+xk+1）
这就是说当n=k+1时不等式成立．（12分）
根据不等式（*）得：C1•C2…Cn=(1-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4n |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 42 |
| 1 |
| 4n |
| 2 |
| 3 |
∴C1•C2…Cn＞
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查数学归纳法证明不等式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目