Question

若方程k|x|=（x+2）x³有三个不同的根，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：先看出有一根0，把题转化为k=

x2(x+2) x＞0 -x2(x+2) x＜0

有两个不同且不为0的根，再利用图形可得k的取值范围．

解答：解：因为当x=0时，方程成立，
所以原题转化为k=

x2(x+2) x＞0 -x2(x+2) x＜0

，
有两个不同且不为0的根从图象上来看有两个不等且不为0的交点，
又因为f（x）=x²（x+2）在（0，+∞）上为增函数，
设g（x）=-x²（x+2），（x＜0），
所以g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+

4

3

），
故g（x）在（-∞，-

4

3

）上递减，在（-

4

3

，0）上递增，
又g（-

4

3

）=-

32

27

，所以可在坐标系中画出f（x）和g（x）的图象，
如图可得，当-

32

27

＜k＜0或k＞0时，图象有两个不等且不为0的根，
故所求k的取值范围是-

32

27

＜k＜0或k＞0．
故答案为：-

32

27

＜k＜0或k＞0．

点评：本题考查根的个数的应用和数形结合思想和转化思想的应用．很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决．