Question

已知x=1是函数f(x)=mx³-3(m+1)x²+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m≠0.

(1)求m与n的关系表达式;

(2)求f(x)的单调区间.

Answer 1

思路分析:本题注重对导数的应用与数学思想的考查.(1)由f′(1)=0确定m与n的关系.(2)由f′(x)＞0,

f′(x)＜0确定f(x)的单调区间.

解:(1)f′(x)=3mx²-6(m+1)x+n,

∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.

∴n=3m+6.

(2)由(1),知f′(x)=3mx²-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+)］.

①当m＜0时,有1＞1+,当x变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表:

x	(-∞,1+)	1+	(1+,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	＜0	0	＞0	0	＜0
f(x)	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知,当m＜0时,f(x)在(-∞,1+)上单调递减,在(1+,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

②当m＞0时,有1＜1+,当x变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表:

x	(-∞,1)	1	(1,1+)	1+	(1+,+∞)
f′(x)	＞0	0	＜0	0	＞0
f(x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由上表知,当m＞0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,1+)上单调递减,在(1+,+∞)单调递增.

    深化升华 解决本题关键在于准确地求出m与n的关系式,以及借助二次函数解决恒成立问题.