Question

已知双曲线C₁：x2-

y2

4

=1．
（1）求与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，

3

）的双曲线C₂的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C₁的两条渐近线于A、B两点．当

OA

•

OB

=3时，求实数m的值．

Answer 1

（1）∵双曲线C₁：x2-

y2

4

=1，
∴焦点坐标为（

5

，0），（-

5

，0）
设双曲线C₂的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵双曲线C₂与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，

3

）
∴

a2+b2=5 16 a2 - 3 b2 =1

，解得

a=2 b=1

∴双曲线C₂的标准方程为

x2

4

-y2=1
（2）双曲线C₁的两条渐近线为y=2x，y=-2x
由

y=2x y=x+m

，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）
由

y=-2x y=x+m

，可得x=-

1

3

m，y=

2

3

m，∴B（-

1

3

m，

2

3

m）
∴

OA

•

OB

=-

1

3

m2+

4

3

m2=m2
∵

OA

•

OB

=3
∴m²=3
∴m=±

3