Question

12．若α，β是一直角三角形两锐角的弧度数，则$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$的最小值为（　　）

• A． 9
• B． 18
• C． $\frac{9}{π}$
• D． $\frac{18}{π}$

Answer 1

分析 α，β是一直角三角形两锐角的弧度数，可得α+β=$\frac{π}{2}$，α，β＞0．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵α，β是一直角三角形两锐角的弧度数，
∴α+β=$\frac{π}{2}$，α，β＞0．
则$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{2}{π}$（α+β）$（\frac{4}{α}+\frac{1}{β}）$=$\frac{2}{π}（5+\frac{4β}{α}+\frac{α}{β}）$≥$\frac{2}{π}（5+2\sqrt{\frac{4β}{α}•\frac{α}{β}}）$=$\frac{18}{π}$，当且仅当α=2β=$\frac{π}{3}$时取等号．
∴$\frac{4}{α}$+$\frac{1}{β}$的最小值为$\frac{18}{π}$．
故选：D．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．