题目内容
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若
=(1-
，tanA)，
=(1，
)，且
⊥
．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=
，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．
| m |
| 2c |
| b |
| n |
| 1 |
| tanB |
| m |
| n |
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=
| 3 |
分析：（Ⅰ）利用两个向量垂直的性质可得
•
=0，由此可得cosA=
，从而求得角A的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦定理可得b=2sinx，c=2sin(
-x) 可得 y=2
sin（x+
）+
．再根据x的范围求出y的最大值．
| m |
| n |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）由条件利用正弦定理可得b=2sinx，c=2sin(
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ） 由题意可得
•
=1-
+
=1-
+
=
=
=
=0．
∴sinC-2sinCcosA=0，
∴cosA=
，
∴△ABC中，A=
． …（6分）
（Ⅱ）由a=
，角B的大小为x，A=
及正弦定理
=
=
=2，可得b=2sinx，c=2sin(
-x)，
∴三角形的周长 y=2sinx+2sin（
-x）+
=2
sin（x+
）+
．
由于0＜x＜
，∴x+
∈（
，
），
∴当 x+
=
，即 x=
时，ymax=3
． …（12分）
| m |
| n |
| 2c |
| b |
| tanA |
| tanB |
| 2sinC |
| sinB |
| sinAcosB |
| cosAsinB |
| cosAsinB-2sinCcosA+sinAcosB |
| cosAsinB |
=
| sin(A+B)-2sinCcosA |
| cosAsinB |
| sinC-2sinCcosA |
| cosAsinB |
∴sinC-2sinCcosA=0，
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∴△ABC中，A=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由a=
| 3 |
| π |
| 3 |
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
| ||
sin
|
| 2π |
| 3 |
∴三角形的周长 y=2sinx+2sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
由于0＜x＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴当 x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，两个向量垂直的性质，属于中档题．
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在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A、
| ||||
| B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
|