题目内容
某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示．| 组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
| 第一组 | [160，165） | 5 | 0.05 |
| 第二组 | [165，170） | 35 | 0.35 |
| 第三组 | [170，175） | 30 | a |
| 第四组 | [175，180） | b | 0.2 |
| 第五组 | [180，185） | 10 | 0.1 |
（Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】分析：（I）利用5组频率总和为1，即可求出第3组频率；利用总的频数为100，即可得出b．
（II）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，因此第3组抽取的人数为：
人，第4组抽取的人数为：
人，第5组抽取的人数为：
人．公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，每个人被抽到的概率是相同的．
（III）ξ的可能取值为0、1、2、3．利用超几何分步计算公式P（ξ=k）=
即可得出分布列，进而得到数学期望．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率=1-（0.05+0.35+0.2+0.1）=0.3，
所以a=0.3．
总的频数为100，因此第4组的频数=100-（5+35+30+10）=20，即b=20．
（Ⅱ）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，
因此第3组抽取的人数为：
人，第4组抽取的人数为：
人，第5组抽取的人数为：
人．
公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，
每个人被抽到的概率是相同的．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3．
，
，
，
．
ξ的分布列为：
∴
．
点评：熟练掌握频率与频数的性质、分层抽样的计算公式、随机抽样的性质、超几何分步计算公式、分布列、数学期望是解题的关键．
（II）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，因此第3组抽取的人数为：
人，第4组抽取的人数为：人，第5组抽取的人数为：人．公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，每个人被抽到的概率是相同的．（III）ξ的可能取值为0、1、2、3．利用超几何分步计算公式P（ξ=k）=
即可得出分布列，进而得到数学期望．解答：解：（Ⅰ）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率=1-（0.05+0.35+0.2+0.1）=0.3，
所以a=0.3．
总的频数为100，因此第4组的频数=100-（5+35+30+10）=20，即b=20．
（Ⅱ）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，
因此第3组抽取的人数为：
人，第4组抽取的人数为：人，第5组抽取的人数为：人．公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，
每个人被抽到的概率是相同的．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3．
，，，．ξ的分布列为：
∴
．点评：熟练掌握频率与频数的性质、分层抽样的计算公式、随机抽样的性质、超几何分步计算公式、分布列、数学期望是解题的关键．
练习册系列答案
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案
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（2013•昌平区二模）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a=某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。
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组号 |
分组 |
频数 |
频率 |
|
第一组 |
[160,165) |
5 |
0.05 |
|
第二组 |
[165,170) |
35 |
0.35 |
|
第三组 |
[170,175) |
30 |
a |
|
第四组 |
[175,180) |
b |
0.2 |
|
第五组 |
[180,185) |
10 |
0.1 |
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为
，求的分布列和数学期望．
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.