Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是侧棱CC₁上一点，设MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若直线AM与平面ABC所成的角为

π

4

，求多面体ABM-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出

BM

，

A1C

，利用

BM

•

A1C

=0，求h的值；
（2）直线AM与平面ABC所成的角为

π

4

，多面体ABM-A₁B₁C₁的体积，就是三棱柱的体积减去三棱锥M-ABC的体积，求解即可．

解答：解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（2，0，0），M（0，2，h），A₁（0，0，4），C（0，2，0）（2分）

BM

=(-2，2，h)，

A1C

=(0，2，-4)（2分）
由BM⊥A₁C得，

BM

•

A1C

=0，即2×2-4h=0
解得h=1（2分）
（2）由题意知，平面ABC的一个法向量为

n

=(0，0，1)，

AM

=(0，2，h)（2分）
因为直线AM与平面ABC所成的角为

π

4

，所以

2

2

=

h

4+h2

解得h=2（2分）
三棱锥M-ABC的体积VM-ABC=

1

3

S△ABC•MC=

4

3

三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积V=S_△ABC•CC₁=8（2分）
所以多面体ABM-A₁B₁C₁的体积VABM-A1B1C1=8-

4

3

=

20

3

（2分）

点评：本题考查棱柱的结构特征，组合几何体的面积、体积问题，直线与平面所成的角，考查转化思想，计算能力，是中档题．