Question

如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

Answer 1

分析：利用余弦定理求出BC，利用正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展开求出cosθ的值．

解答：解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，
由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos120°=2800，
所以BC=20

7

．
由正弦定理得sin∠ACB=

AB

BC

sin∠BAC=

21

7

．
由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=

2 7

7

．
故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=

21

14

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．