题目内容
若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数．
（1）求方差Dξ的最大值；
（2）求
的最大值．
解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，
从而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ=（0-p）2×（1-p）+（1-p）2×p=p-p2，
（1）
，
因为0＜P＜1，所以当
时，Dξ取得最大值，最大值为
．
（2）
，因为0＜P＜1，所以
．
当
，即
时，取“=”．
因此，当时，取得最大值
．
分析：（1）由题意ξ服从两点分布，Dξ=p-p2，（0＜p＜1），转化为二次函数求最值．
（2）将Eξ和Dξ代入，利用基本不等式求最值．
点评：本题考查两点分布的期望和方差，及函数的最值问题，本题将概率知识与函数知识很好的结合，难度不大．
从而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ=（0-p）2×（1-p）+（1-p）2×p=p-p2，
（1）
，因为0＜P＜1，所以当
时，Dξ取得最大值，最大值为．（2）
，因为0＜P＜1，所以．当
，即时，取“=”．因此，当
时，取得最大值．分析：（1）由题意ξ服从两点分布，Dξ=p-p2，（0＜p＜1），转化为二次函数求最值．
（2）将Eξ和Dξ代入，利用基本不等式求最值．
点评：本题考查两点分布的期望和方差，及函数的最值问题，本题将概率知识与函数知识很好的结合，难度不大．
练习册系列答案
相关题目
（本小题满分12分）
一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，
，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验。记A事件为“数字之和为7”.试验数据如下表
|
摸球总次数 |
10 |
20 |
30 |
60 |
90 |
120 |
180 |
240 |
330 |
450 |
|
“和为7”出现的频数 |
1 |
9 |
14 |
24 |
26 |
37 |
58 |
82 |
109 |
150 |
|
“和为7”出现的频率 |
0.10 |
0.45 |
0.47 |
0.40 |
0.29 |
0.31 |
0.32 |
0.34 |
0.33 |
0.33 |
（参考数据：
）
（Ⅰ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近。试估计“出现数字之和为7”的概率，并求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元。某人摸球3次，设其获利金额为随机变量
元，求的数学期望和方差。