Question

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB，只需证明EF∥平面PCB，GF∥平面PCB即可；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小，利用三垂线定理，作出二面角的平面角，解三角形即可．
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小，设PB的中点为K，连接KC，AK，∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．解答即可．
或者建立空间直角坐标系，利用向量数量积求解即可．

解答：解：方法1：
（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP．（1分）
因为EF、GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB．（3分）
（Ⅱ）解：过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H．
连接HB．

因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC．
所以HB⊥PA．
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．（6分）
依条件容易求出CH=

2

5

．
所以tan∠BHC=

1

2 5

=

5

2

．
所以∠BHC=arctan

5

2

．
所以二面角B-AP-C的大小是arctan

5

2

．（8分）

（Ⅲ）解法1：如图，设PB的中点为K，
连接KC，AK，因为△PCB为等腰直角三角形，
所以KC⊥PB．
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，
所以AC⊥平面PCB．
所以AK⊥PB．
因为AK∩KC=K，
所以PB⊥平面AKC．
又PB?平面PAB，
所以平面AKC⊥平面PAB．
在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M．
因为平面AKC⊥平面PAB，
所以FM⊥平面PAB．
连接PM，
所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．（11分）
容易求出PF=

2

，FM=

1

3

．
所以sin∠MPF=

1 3

2

=

2

6

．
所以∠MPF=arcsin

2

6

．
即直线PF与平面PAB所成的角的大小是arcsin

2

6

．（13分）

（Ⅲ）解法2：连接FB，
因为PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，
所以PC⊥平面ABC．
即PC是三棱锥P-ABF的高．
依条件知V_P-ABF=

1

3

×PC×（

1

2

×AF×BC）
=

1

3

×1×（

1

2

×1×1）=

1

6

．
又V_F-PAB=

1

3

×h×S_△PAB（其中h是点F到平面PAB的距离）
=

1

3

×h×（

1

2

×

2

×

3

2

）=

1

3

×h×

3

2

=

1

2

h，
所以由

1

6

=

1

2

h解得h=

1

3

．（11分）
设PF与平面PAB所成的角为α，
又PF=

2

，
所以sinα=

h

PF

=

1 3

2

=

2

6

．
所以α=arcsin

2

6

．
即直线AC与平面PAB所成角大小是arcsin

2

6

．（13分）

方法2：依条件建立如图所示空间直角坐标系C-xyz．
所以A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1）
（Ⅰ）略（3分）
（Ⅱ）解：显然

CB

=（0，1，0）是平面PAC的一
个法向量．
设n=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，
因为

AP

=（-2，0，1），

AB

=（-2，1，0），
所以由n•

AP

=0，n•

AB

=0解得n=（1，2，2）．（6分）
设二面角B-AP-C的大小为θ，
所以cosθ=

CB ?n

| CB ||n|

=

2

3

．
所以二面角B-AP-C的大小为arccos

2

3

．（arccos

2

3

=arctan

5

2

）（8分）
（Ⅲ）解：设PF与平面PAB所成的角为α，
由（Ⅱ）知平面PAB的一个法向量n=（1，2，2）．
又

FP

=（-1，0，1），
所以cos（

π

2

-α）=

FP ?n

| FP ||n|

=

2

6

．（11分）
所以sinα=

2

6

．
所以α=arcsin

2

6

．
即直线AC与平面PAB所成角的大小是arcsin

2

6

．（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直和平行的判定，直线与平面所成的角，空间向量的数量积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．