Question

已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx-ax．若函数f（x）在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由于f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，所以其图象关于原点对称，所以只要考虑当x＞0时，f（x）=lnx-ax有且仅有二个不同的零点即可，令lnx-ax=0，即lnx=ax，用图象法，画出左右两式的函数图象，通过观察图象即得．

解答：解：令lnx-ax=0，即lnx=ax，用图象法，画出左右两式的函数图象，
当a=

1

e

时，两图象只有一个交点，
通过观察图象可知，当直线的斜率小于

1

e

且大于0时，两图有两个交点．
故填：(0，

1

e

)．

点评：本题考查了函数的零点与方程的关系，函数的零点就是使得函数y=f（x）的函数值为0时的实数x的值．函数的零点y=f（x）就是方程f（x）=0的实数根，从图象上看，函数的零点y=f（x）就是它的图象与x轴交点的横坐标．因此，函数的零点的研究就可转化为相应函数图象的交点的问题，数形结合的思想得到了很好的体现．