题目内容

已知函数 $数学公式$ 是奇函数，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），
即 $\text{[math]}$ （2分）
整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，解得p=2．
故所求解析式为 $\text{[math]}$ ．（6分）
（Ⅱ）由（1）得 $\text{[math]}$ ．
设0＜x₁＜x₂＜1，则 $\text{[math]}$ ．（10分）
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
从而得到f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）
分析：（Ⅰ）求函数f（x）的解析式可根据函数是奇函数得出等式f（-x）=-f（x），及 $\text{[math]}$ 建立方程，两者联立可求出函数的解析式．
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，要设0＜x₁＜x₂＜1，再f（x₁）-f（x₂）的符号，依据定义判断出结论即可．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数的奇偶性建立方程求参数，这是奇偶性的一个重要应用，做对本题的关键是根据定义转化出正确的方程，利用定义法证明单调性时，要注意做题格式，及判号时要严谨．