Question

（2011•洛阳二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA+2bcosB=0．
（1）求角B的大小，
（2）若b=

3

，求

BA

•

BC

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理可求得sin（A+C）+2sinBcosB=0，再由诱导公式即可求得角B的大小；
（2）由余弦定理可求得a²+c²+ac=3，再利用基本不等式可求得ac≤1，由向量的数量积即可求得答案．

解答：解：（1）由acosC+ccosA+2bcosB=0及正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB=0…2分
∴sin（A+C）+2sinBcosB=0…3分
∵A，B，C是△ABC的三个内角，
∴sin（A+C）=sinB，…4分
∴sinB+2sinBcosB=0，…5分
∵sinB≠0，
∴cosB=-

1

2

，又0＜B＜π，故B=

2π

3

…6分
（2）由b=

3

及余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac…7分
a²+c²+ac=3…8分
∵a²+c²≥2ac，
∴3ac≤3，
∴ac≤1，当且仅当a=c=1时取等号…10分
∴

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|cosB=accosB=-

1

2

ac≥-

1

2

…11分
∴

BA

•

BC

的最小值为-

1

2

…12分

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查向量的数量积的运算，考查基本不等式的应用，属于中档题．