Question

如图所示，点P在圆O：x²+y²=4上，PD⊥x轴，点M在射线DP上，且满足（λ≠0）．
（Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程，并根据λ取值说明轨迹C的形状．
（Ⅱ）设轨迹C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，直线2x-3y=0与轨迹C交于点E、F，点G在直线AB上，满足，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用和PD⊥x轴，确定M，P坐标之间的关系，代入圆方程得：，对λ讨论，即可得到结论；
（Ⅱ）由题设知A（2，0），B（0，2λ），E，F关于原点对称，可设E，F，G的坐标，利用，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）、P（x，y），由于和PD⊥x轴，所以，∴
代入圆方程得：--------------（2分）
当0＜λ＜1时，轨迹C表示焦点在x轴上的椭圆；
当λ=1时轨迹C就是圆O；
当λ＞1时轨迹C表示焦点是y轴上的椭圆．---------------（4分）
（Ⅱ）由题设知A（2，0），B（0，2λ），E，F关于原点对称，所以设，，G（x，y），不妨设x₁＞0---------------（6分）
直线AB的方程为：，把点G坐标代入得y=2λ-λx
又点E在轨迹C上，则有，∴-------（8分）
∵，∴x-x₁=6（-x₁-x），∴
∵y-x₁=6（-x₁-y），∴----------（10分）
∴=（λ＞0），∴18λ²+50λ-17=0，∴---------（12分）
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，利用向量确定坐标之间的关系是关键．