Question

f(x)=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N且n≥2），
（1）计算x₂，x₃，x₄的值；
（2）并猜想x_n（n∈N₊）的值；
（3）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用函数解析式，代入计算，可得结论；
（2）由（1）猜想结论；
（3）利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），
∴x₂=

2

3

，x₃=

2

4

=

1

2

，x₄=

2

5

；
（2）猜想x_n=

2

n+1

（n∈N₊）              （*）      
（3）①当n=1时，x₁=1=

2

1+1

，（*）成立；        
②假设n=k时（*）成立，即x_k=

2

k+1

当n=k+1时，x_k+1=f（x_k）=

2xk

xk+2

=

2× 2 k+1

2 k+1 +2

=

2

(k+1)+1

即当n=k+1时，（*）成立      
根据①和②，可知对任何n∈N₊（*）都成立．

点评：本题考查函数与数列的结合，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．