题目内容
某地政府为科技兴市，欲将如下图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA∥BC,且AB=BC=2AO=4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积.（精确到0.1 km2）
解:以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图，
依题意可设抛物线方程为y2=2px(p＞0),且C（4，2）.
∵22=2p·4,∴p=
.
故曲线段OC的方程为y2=x(0≤x≤4,y≥0).
设P(y2,y)(0≤y＜2)是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，
∴工业区面积S=|PQ|·|PN|=(2+y)(4-y2)=-y3-2y2+4y+8.
S′=-3y2-4y+4，令S′=0得y1=
,y2=-2.
∵0＜y＜2,∴y=
.
当y∈(0, 
)时，S′＞0，S是y的增函数;
当y∈(
,2)时，S′＜0，S是y的减函数.
∴y=
时，S取到极大值，此时|PQ|=2+y=
,|PN|=4-y2=
,
故S=
×
=
≈9.5.∵y=0时,S=8,∴S max=9.5 km2.
所以，把工业园区规划成长为
km，宽为
km的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5 km2.
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）．
某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．
某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区．已知AB⊥BC，DA∥BC且AB=BC=2AD=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段．
某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km其中曲线段AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．分别以直线AB，AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系．