Question

不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为（　　）

A．{x|0＜x＜3}

B．{x|x＜0或x＞3}

C．{x|-2＜x＜1}

D．{x|x＜-2或x＞1}

Answer 1

分析：根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，且有-

b

a

=-1+2=1，

c

a

=-2，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集．

解答：解：因为不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，所以-1和2是方程ax²+bx+c=0的两根且a＜0，
所以-

b

a

=-1+2=1，

c

a

=-2，
由a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax，得：ax²-（2a-b）x+a-b+c＞0，
设ax²-（2a-b）x+a-b+c=0的两根为x₃，x₄，则x3+x4=

2a-b

a

=2-

b

a

=2+1=3①，
x3x4=

a-b+c

a

=1-

b

a

+

c

a

=1+1-2=0②，联立①②得：x₃=0，x₄=3，
因为a＜0，所以ax²-（2a-b）x+a-b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，
所以不等式a（x²+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．
故选A．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与系数关系，训练了借助于“三个二次”的关系求解一元二次不等式的方法，是基础题．