在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.设M.N.E.F分别是棱A1B1.A1D1.C1D1.B1C1的中点.求证:(1)E.F.B.D四点共面;(2)平面AMN∥平面EFBD. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，设M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点，求证：

(1)E、F、B、D四点共面;

(2)平面AMN∥平面EFBD.

试题答案

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证明:如图，(1)分别连结B₁D₁、ED、FB,

由正方体性质知B₁D₁∥BD.

∵E、F分别是D₁C₁和B₁C₁的中点,

∴EFB₁D₁.

∴EFBD.

∴E、F、B、D四点共面.

(2)连结A₁C₁交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.

∵M、N为A₁B₁、A₁D₁的中点,

∴MN∥EF.而EF面EFBD.

∴MN∥面EFBD.

∵PQAO,

∴四边形PAOQ为平行四边形.

∴PA∥QO.

而QO平面EFBD，

∴PA∥平面EFBD,

且PA∩MN=P，PA、MN面AMN.

∴平面AMN∥平面EFBD.

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