Question

已知函数f（x）=-

1

2

x²+x的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，则m+n=

-2

．

Answer 1

分析：题目给出了二次函数，求出其对称轴，然后分对称轴在区间右侧、区间左侧和区间内部分类讨论．

解答：解：函数f（x）=-

1

2

x²+x的对称轴方程式x=1，
当m＜n≤1时，函数在区间[m，n]上为增函数，由题意有

f(m)=- 1 2 m2+m=2m f(n)=- 1 2 n2+n=2n

解得：m=-2，n=0．
当1≤m＜n时，函数在区间[m，n]上为减函数，由题意有

f(m)=- 1 2 m2+m=2n f(n)=- 1 2 n2+n=2m

此方程组无解．
当m＜1，n＞1时，由题意得：f（1）=-

1

2

×12+1=2n，解得：n=

1

4

，与n＞1矛盾，
所以使函数f（x）=-

1

2

x²+x的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]的m、n的值分别为-2、0，
所以m+n=-2．
故答案为-2．

点评：本题考查了函数值域的求法，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是正确分类．