Question

如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，。

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求点C到平面的距离。

Answer 1

解：（1）连接，设，连接DE，如图所示。

∵是正三棱柱， 且

∴四边形是正方形，

∴E是的中点，又D是BC的中点，

∴ ∥。

∵平面，平面，

∴∥平面。

（2）在平面ABC内作DF⊥AB于点F，在平面内作FG ⊥于点G，连接DG。

∵平面⊥平面ABC，

∴DF⊥平面，

∴FG是DG在平面上的射影，

∵FG⊥，∴ DG⊥。

∴∠FGD是二面角的平面角。

设，

在正中，

在中，，

在中，，

所以，二面角的大小为。

（3）∵平面⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面，又平面，

∴平面⊥平面。

在平面内作CH⊥交的延长线于点H。

则CH的长度就是点C到平面的距离。

由∽，得。

即点C到平面的距离是。